Question

【题目】两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠FDE=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

(1) 如图 (1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

(2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.

(3)如图(3)，△DEF的F点固定在AB的中点，然后绕F点按顺时针方向旋转△DEF，使EF交在AC边上于M，FD交BC于N，若FM=x,FN=y,试求y关于x的函数关系式。

Answer 1

【答案】(1) ，(2)略，(3)y=x.

【解析】试题分析：（1）过点C作，垂足是点，易证四边形是梯形，在直角中利用三角形的性质求得，然后利用梯形的面积公式求解；
（2）首先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的定义即可证得四边形是菱形．

过点作于,作于由两组角分别对应相等，可得： 对应边的比相等，可得出与的关系式.

试题解析：(1)过点C作CG⊥AE，垂足是点G.

由题可知,CFAE，CF=AD=BE，

则四边形CDBF是梯形.

∵在直角△ABC中,

∴AB=2，

在直角△ACG中,

∴S梯形CDBF

(2)四边形CDBF是菱形.

理由如下：∵在直角△ABC中，D是AB的中点，

∴AD=DB=CD，

由(1)CF=AD，

∴CF=DB=CD，

又∵CFAE，

∴四边形CDBF是平行四边形.

∵CD=BD，

∴四边形CDBF是菱形.

过点作于,作于

可解得

,

即 整理得：