Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（﹣3，0）．已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3（m为常数），顶点为P．

（1）当抛物线经过点A时，顶点P的坐标为　 　；

（2）在（1）的条件下，此抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C．点Q为直线AC上方抛物线上一动点．

①如图1，连接QA、QC，求△QAC的面积最大值；

②如图2，若∠CBQ＝45°，请求出此时点Q坐标．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4）；（2）①；②Q（﹣，）．

【解析】

（1）将点A坐标代入抛物线表达式并解得：m=-1，即可求解；

（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，先求出直线AC的解析式，点Q(x，﹣x2﹣2x+3)，则点N(x，x+3)，则△QAC的面积S=×QN×OA=﹣x2﹣x，然后根据二次函数的性质即可求解；

②tan∠OCB=＝，设HM=BM=x，则CM=3x，BC=BM+CM=4x=，解得：x=，CH=x=，则点H(0，)，同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=-x+，即可求解．

解：（1）将点A(﹣3，0)代入抛物线表达式并解得，

0＝﹣9-6m+3

∴m＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，

∴点P(﹣1，4)，

故答案为：(﹣1，4)；

（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，如图1，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将点A(﹣3，0)、C(0，3)的坐标代入一次函数表达式并解得，

，

解得

，

∴直线AC的表达式为：y＝x+3，

设点Q(x，﹣x2﹣2x+3)，则点N（x，x+3），

△QAC的面积S＝QN×OA＝(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝﹣x2﹣x，

∵﹣＜0，故S有最大值为：；

②如图2，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，

tan∠OCB＝＝，设HM＝BM＝x，则CM＝3x，

BC＝BM+CM＝4x＝，解得：x＝，

CH＝x＝，则点H(0，)，

同直线AC的表达式的求法可得直线BH（Q）的表达式为：y＝﹣x+…②，

联立①②并解得：

﹣x2﹣2x+3=﹣x+，

解得

x＝1（舍去）或﹣，

故点Q(﹣，)．