Question

如图1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，
（1）求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；
（3）在图2条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，请直接写出图3当△ABP为等腰三角形时t的值．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB，可证得结论；
（2）由条件可知BD=DE=DA=3，且DE为△ABC的中位线，可求得BC长；
（3）分BP=AP、BP=AB、AP=AB三种情况分别讨论求t的值即可．

解答：（1）证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，
∴BD=ED，
∴△DBE为等腰三角形；        
（2）解：
∵点D为AB中点
∴AD=BD=ED=

1

2

AB=3，
∵DE∥BC，
∴E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6；
（3）在（2）的条件下可知DE=DA，且∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵BC=2DE=AB，
∴△ABC为等边三角形，
当BP=AP时，过点P作PE⊥AB，交AB于点E，则BF=

1

2

AB=6，

在Rt△PBF中，∠PBF=

1

2

∠ABC=30°，
∴BP=2

3

，即t=2

3

，
当BP=BA时，此时BP=6，即t=6，
当AB=AP时，此时，BP=2BE=6

3

，即t=6

3

，
综上可知当△ABP为等腰三角形时t的值为2

3

，6，6

3

．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和判定及勾股定理、平行线性质的综合应用，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键，在第（3）中注意分情况讨论．