Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为D，CE平分∠ACB，交⊙O于E．

（1）求证：PC与⊙O相切；

（2）若AC=6，tan∠BEC=，求BE的长度以及图中阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BE=，．

【解析】

（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠ACO =∠DAC，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PC，根据切线的判定定理证明结论；

（2）连接OE，根据角平分线的定义、圆周角定理得，证得为等腰直角三角形，，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，即可求出OB、BE；利用阴影部分面积=S扇形BOE列式计算即可．

（1）如图，连结OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAO，

∵OC =OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠ACO =∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥PD，则∠D=90°，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC⊥PC，即PC与⊙O相切；

（2）如图，连结OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=，

∵，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，则，

∵，

∴∠CAB=∠BEC，

∵tan∠BEC=，

∴tan∠CAB = tan∠BEC=，

在中，AC=6，

∴，即，

解得：BC=4，由勾股定理得AB=，

∴，

∴；

∴阴影部分面积=S扇形BOE

．