Question

【题目】用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点．

（1）求证：是边的逆平行线．

（2）点是的外心，连接，求证：．

（3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点．

①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值；

②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，最大值；②=

【解析】

（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证；

（2）连接AO，BO,证得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，证出，即CO⊥FE，

（3）①设FC＝x，则BF＝6x，证△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四边形AGFE的面积可表示为S△ABCS△EFCS△BFG，利用二次函数的性质可求出最大值，得到点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证得DF为AC边的逆平行线， 得到G点与D点重合，再根据相似三角形的判定与性质求出AD的长；

②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB．

（1）证明理由如下：

边是的逆平行线；

（2）如图1，连接，BO

是边的逆平行线

点是的外心

=BO，

，AO=AO

∴△ABO≌△ACO

，

；

（3）如图2，作AQ⊥BC

∵AB=AC，

∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3

∴AQ=

S△ABC===12,

①设，，

∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，

∴△FEC∽△ABC．

，

同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC

∴△FBG∽△ABC

∴

＝ (x3)2＋，

当时，此时有最大值，最大值为，

∴CF＝BF＝3，

如图3，连接DF，

∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE，

∴△BDF≌△CEF（SAS），

∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC，

∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF．

∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180，

∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180．

∴FD为边AC的逆平行线，

由题意可知D与G点重合，

由=

过D点作DH⊥BC，

∴BF×DH=，故×3×DH=

解得DH=

∵AF∥DH

∴△BDH∽△BAF，设AD=a

∴BD=5-a

∴

故

解得a=

故，四边形的面积最大值为；

②由①可得D与G点重合，

∴AD＋BG＝AB，

故答案为：＝．