Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．

（1）求证：△ABE∽△FDA；

（2）联结BD、EF，如果DF2＝ADAB，求证：BD＝EF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据角平分线的定义得到∠HDF＝∠HDC．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代换得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到结论；

（2）作AP平分∠DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到∠DAP＝∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．

解：（1）∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD，

∵DF平分∠HDC，

∴∠HDF＝∠HDC，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD＝∠CDH，

∴∠HDF＝∠EAF，

∴∠HDF＝∠DAF+∠BAE，

又∵∠HDF＝∠DAF+∠F，

∴∠BAE＝∠F，

同理：∠DAF＝∠E，

∴△ABE∽△FDA；

（2）作AP平分∠DAB交CD于点P，

∴∠DAP＝∠BAD，

∵∠HDF＝∠CDH，且∠BAD＝∠CDH

∴∠HDF＝∠DAP，

∴DF∥AP，

同理：BE∥AP，

∴DF∥BE，

∵△ABE∽△FDA，

∴，

即BEDF＝ADAB，

又∵DF2＝ADAB，

∴BE＝DF，

∴四边形DFEB是平行四边形，

∴BD＝EF．