Question

【题目】如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，则BF=2；正确的结论有( )个

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG不一定等于∠CDE，于是∠DGN不一定等于∠DNG，判断出①错误；

根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，然后判断出△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DEF=45°，再根据两组角对应相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判断出②正确；

连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得然后判断出直线CM垂直平分BD，判断出③正确；

过点M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BF=2MH，判断出④正确．

在正方形ABCD中，AD=CD，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，

∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，

∴∠DEF=45°，

∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，

而∠FDG与∠CDE不一定相等，

∴∠DGN与∠DNG不一定相等，故判断出①错误；

∵△DEF是等腰直角三角形，

∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），

∴△BFG∽△EDG，

∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，

∴△EDG∽△BDE，

∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；

如图，连接BM、DM

．

∵△AFD≌△CED，

∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，

∴∠FDE=∠ADC=90°，

∵M是EF的中点，

∴

∵

∴MD=MB，

在△DCM与△BCM中，

，

∴△DCM≌△BCM（SSS），

∴∠BCM=∠DCM，

∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，

∴MC垂直平分BD；故③正确；

过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，

∵，

∴，

∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，

∴MH是△BEF的中位线，

∴BF=2MH=2，故④正确；

综上所述，正确的结论有②③④．

故选：B．