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【题目】如图,正方形ABCD中,EBC中点连接AE,DF⊥AE于点F,连接CF,FG⊥CFAD于点G,下列结论:①CF=CD;②GAD中点;③△DCF∽△AGF;④,其中结论正确的个数有(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

如图,作CMDFM.首先证明DAF≌△CDM,推出DM=AF,再证明DF=2AF,推出DM=MF,推出CD=CF,再证明∠GDF=GFD,推出GD=GF,再证明GF=GA即可证明GA=GD,由此即可一一判断.

如图,作CMDFM.

∵四边形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=AD,DAB=B=ADC=90°,

∵∠ADF+CDF=90°,CDF+DCM=90°,

∴∠ADF=DCM,

DFAE,CMDF,

∴∠AFD=CMD=90°,

∴△DAF≌△CDM,

CM=DF,DM=AF,

∵∠ADF+DAE=90°,DAE+BAE=90°,

∴∠BAE=ADF,

BE=CE,

AB=2BE,

tanBAE=tanADF=

DM=MF,CMDF,

CD=CF,故①正确,

∴∠CDF=CFD,

∵∠CDG=CFG=90°,

∴∠GFD=GDF,

GF=GD,

∵∠GDF+DAF=90°,GFD+AFG=90°,

∴∠GAF=GFA,

GF=GA,

GD=GA,

GAD中点,故②正确,

∵∠AFD=GFC,

∴∠AFG=CFD,GAF=CDF,

∴△DCF∽△AGF,故③正确,

AF=a,则DF=2a,AB=a,BE=a,

AE=a,EF=a,

,故④正确,

故选D.

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A. B.

C. D.

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