【题目】如图,△ABC中,AD⊥BC于D,下列条件:①∠B+∠DAC=90°;②∠B=∠DAC;③=;④AB2=BDBC . 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
根据已知对各个条件进行分析,从而得到答案.
(1)不能,∵AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,∵∠B+∠DAC=90°,∴∠BAD=∠DAC,∴无法证明△ABC是直角三角形;
(2)能,∵∠B=∠DAC,则∠BAD=∠C,∴∠B+∠BAD=∠C+∠DAC=180°÷2=90°;
(3)能
∵CD:AD=AC:AB,∠ADB=∠ADC=90°,
∴Rt△ABD∽Rt△CAD(直角三角形相似的判定定理),
∴∠ABD=∠CAD;∠BAD=∠ACD
∵∠ABD+∠BAD=90°
∴∠CAD+∠BAD=90°
∵∠BAC=∠CAD+∠BAD
∴∠BAC=90°;
(4)能,∵能说明△CBA∽△ABD,∴△ABC一定是直角三角形.
共有3个.
故选D.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,OA=OB,点B的坐标为(1,0),AB=,线段OB上的动点(点C不与O、B重合),连接AC,作AC⊥CD,作DE⊥x轴,垂足为点E.
(1)求证:△ACO≌△CDE;
(2)猜想△BDE的形状,并证明结论:
(3)如图2,当△BCD为等腰三角形时,求点D的坐标.
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【题目】(1)如图1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在斜边AB上,点E在直角边BC上,若∠CDE=45°,求证:△ACD∽△BDE.
(2)如图2所示,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=10cm,点E在BC上,连接AE,过点E作EF⊥AE交CD(或CD的延长线)于点F.
①若BE:EC=1:9,求CF的长;
②若点F恰好与点D重合,请在备用图上画出图形,并求BE的长.
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【题目】已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC翻折使得点B与点A重合,折痕与边AC交于点P,如果AP=4,那么AC的长为_______
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【题目】已知:如图,△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,AD=BD,点E在AD上,BE=AC
(1)求证:△BDE≌△ADC
(2)若M、N分别是BE、AC的中点,分别联结DM、DN. 求证:DM⊥DN
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【题目】如图,正方形ABCD中,E为BC中点连接AE,DF⊥AE于点F,连接CF,FG⊥CF交AD于点G,下列结论:①CF=CD;②G为AD中点;③△DCF∽△AGF;④,其中结论正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在正方形ABCD中,P为AB边上一点,将△BCP沿CP折叠,得到△FCP.
(1)如图1,延长PF交AD于E,求证:EF=ED;
(2)如图2,DF,CP的延长线交于点G,求的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC内部,且AD=CD,∠ADC=90°,连接BD,若△BCD的面积为10,则AD的长为_____.
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【题目】数学兴趣活动课上,小明将等腰△ABC的底边BC与直线1重合,问:
(1)已知AB=AC=6,∠BAC=120°,点P在BC边所在的直线l上移动,根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”,小明发现AP的最小值是 ;
(2)为进一步运用该结论,小明发现当AP最短时,在Rt△ABP中,∠P=90°,作了AD平分∠BAP,交BP于点D,点E、F分别是AD、AP边上的动点,连接PE、EF,小明尝试探索PE+EF的最小值,为转化EF,小明在AB上截取AN,使得AN=AF,连接NE,易证△AEF≌△AEN,从而将PE+EF转化为PE+EN,转化到(1)的情况,若BP=3,AB=6,AP=3,则PE+EF的最小值为 ;
(3)请应用以上转化思想解决问题(3),在直角△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=10,点D是CD边上的动点,连接AD,将线段AD顺时针旋转60°,得到线段AP,连接CP,求线段CP的最小值.
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