Question

【题目】已知△ABC中，∠B= 60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ABE沿DE折叠，点A对应点为F点.

(1)如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；

(2)如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的大小；

(3)如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）40°（3）3

【解析】

（1）根据DE∥BC，∠B=60°得到∠ADE=∠B=60°，根据折叠的性质得到∠FDE=∠ADE=60°，从而得到△BDF 是等边三角形

（2）根据CF=EF ，设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x，根据折叠得到∠A=∠DFE=2x ，再由（1）同理可得到△BDC 是等边三角形，再利用△ABC内角和即可列出方程求解

（3）同（1）可得△BDG 是等边三角形，根据BF⊥AB 得到∠BFD=30°，得BD=DF，再根据折叠的性质得到DF=AD，故BD=AD=AB=×9=3，即可求出BG的长.

（1）证明：∵DE∥BC，∠B=60°

∴∠ADE=∠B=60°

∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF

∴∠FDE=∠ADE=60°

∴∠BDF=180°-60°-60°=60°

在△BDF 中，∠B=∠BDF=60°

∴△BDF 是等边三角形.

（2）解：∵CF=EF

∴设∠FCE=∠FEC=x，则∠DFE=∠FCE+∠FEC=2x

∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF

∴∠A=∠DFE=2x

同（1）可得△BDC 是等边三角形

∴∠BCD=60°

在△ABC 中，∠A+∠B+∠BCA=180° ∴2x＋60°＋（60°＋x）=180° 解得：x=20°

∴∠A=2x=40°.

（3）解：同（1）可得△BDG 是等边三角形

∴∠BDG=60°，BG=BD

∵BF⊥AB

∴∠DBF=90°

∴∠BFD=90°－60°=30°

∴BD=DF

又∵△ADE 沿 DE 折叠得到△DEF

∴DF=AD

∴BD=AD=AB=×9=3

∴BG=3.