Question

5．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE∥BC交AC延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AB=10，AC=6，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD交BC于F，如图，由AD平分∠BAC，得到$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，即可的结论；
（2）由圆周角定理得到BC⊥AC，推出四边形ECFD是矩形，求得DF=CE，根据垂径定理得到BF=$\frac{1}{2}$BC，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=3，于是得到结论．

解答 证明：（1）连结OD交BC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DF=CE，
∵OD⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∴BF=4，
∵OB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=3，
∴DF=2，
∴CE=2．

点评 本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．