Question

1．如图所示，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．求证：BD＞DC．

Answer 1

分析 过B做BP∥AC，交AD延长线于P，根据平行线的性质得到∠DAC=∠BPD，由角平分线定义得到∠DAC=∠BAD，等量代换得到∠DAC=∠BAD=∠BPD，根据等腰三角形的性质得到BP=AB，推出△BDP∽△ADC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BP}{AC}=\frac{BD}{CD}$，等量代换得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，根据等式的性质即可得到结论．

解答 证明：过B做BP∥AC，交AD延长线于P，
∴∠DAC=∠BPD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠DAC=∠BAD=∠BPD，
∴BP=AB，
∵∠BDP=∠ADC，
∴△BDP∽△ADC，
∴$\frac{BP}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∵BP=AB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∵AB＞AC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$＞1，
∴BD＞DC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．