Question

5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=$5\sqrt{5}$，则下列结论：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC=2；④四边形ABCD的面积为31；⑤BD=2$\sqrt{41}$．正确的是②③④⑤．

Answer 1

分析 根据勾股定理及其逆定理可得AC²+CD²=DA²知∠ACD=90°，即AC⊥CD，故①错误，②正确；根据正切函数的定义可判断③；根据四边形ABCD的面积为S_△ABC+S_△ACD可判断④；作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=25，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可判断⑤．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
在△ACD中，∵CD=10，DA=5$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=25+100=125=DA²，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD，故①错误，②正确；

在Rt△ACD中，tan∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{10}{5}$=2，故③正确；

S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AC•CD
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×10
=31，
故④正确；

作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=25，
∵CD=10，AD=5$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴$\frac{AB}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，故⑤正确；
故答案为：②③④⑤．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．