Question

如图，在△ABC中，AD、BE是高，若∠ACB=60°，∠BAC=75°．
（1）求证：△BDH≌△ADC；
（2）连结DE，求

DE

AB

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）在直角三角形ACD中，由∠ACB的度数求出∠CAD的度数，进而求出∠BAD为45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，再由一对直角相等，且得到三角形AHE与三角形BHD相似，得到∠CAD=∠HBD，利用ASA即可得证；
（2）连接DE，由AE垂直于BE，AD垂直于BD，得到A、B、D、E四点共圆，利用四边形的外角等于它的内对角得到∠CED=∠ABC，再由公共角，得到三角形CED与三角形ABC相似，由得出得比例，根据直角三角形ACD中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC与AC之比，即为所求之比．

解答：（1）证明：∵∠BDH=∠AEH=90°，∠AHE=∠BHD，
∴△AHE∽△BHD，
∴∠CAD=∠HBD，
∵∠ACB=60°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD，
在△BDH和△ADC中，

∠HBD=∠CAD BD=AD ∠HDB=∠CDA=90°

，
∴△BDH≌△ADC（ASA）；
（2）连接ED，
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠CED=∠ABC（圆内接四边形外角等于它的内对角），
∵∠ECD=∠BCA，
∴△CED∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CD

AC

，
∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ACD中，CD=

1

2

AC，即

CD

AC

=

1

2

，
则

DE

AB

=

1

2

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．