Question

15．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，再由锐角三角函数求出BE，得出AE，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE=$\frac{BO}{cos30°}$=2 $\sqrt{3}$，
∴BF=BE=2 $\sqrt{3}$，
∴CF=AE=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{3}$，
∴BC=BF+CF=3 $\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及锐角三角函数；根据题意弄清各个角之间的关系求出角的度数是解决问题的关键．