Question

如图，直线l：y=-

3

4

x+9与两坐标轴的交点分别是A、B，O是坐标原点，点P是x轴上一动点，点Q是直线l上一动点．
（1）求OA、OB的长；
（2）当S_△ABP=

1

3

S_△ABO时，求出点P的坐标；
（3）若以P、Q、A为顶点的三角形与△ABO全等（不与△ABO重合），请求出所有符合条件的直线PQ的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令y=0，x=0可求出OA和OB的长；
（2）可求出△ABO的面积，由条件可知△OBP的面积是△ABO面积的

2

3

，设出P的坐标，表示出OP的长度，可求得P点坐标；
（3）由条件可知△APQ为直角三角形，A点不可能为直角顶点，分P和Q为直角顶点两种情况讨论，再由全等得到线段相等，可求出P点的坐标，进一步可求出直线PQ的解析式．

解答：解：
（1）令y=0，解得x=12，所以OA=12，令x=0，解得y=9，所以OB=9；
（2）S_△ABO=

1

2

AO•BO=

1

2

×12×9=54，由S_△ABP=

1

3

S_△ABO=18，

设P点的坐标为（x，0），由题意可知P点应该在x轴的正半轴，所以OP=x，则AP=|x-12|，则S_△ABP=

1

2

•AP•OB=

1

2

×9×|x-12|=

9

2

|x-12|=18，解得x=8或16，所以P点的坐标为（8，0）或（16，0）；
（3）由条件可知△APQ为直角三角形，A点不可能为直角顶点，
当P为直角顶点时，过P作x轴的垂线，此时有AP=AO=12，所以P点的坐标为（0，0）（与△AOB重合，舍去）或（24，0），此时直线PQ的解析式为x=24，

当Q为直角顶点时，过P作PQ垂直直线l，垂足为Q，由OA=12，OB=9，可求得AB=15，由全等可得PA=AB=15，所以P点的坐标为（-3，0）或（27，0）

因为直线l的斜率为-

3

4

，所以直线PQ的斜率为

4

3

，
当P点坐标为（-3，0）时，直线PQ的解析式为：y=

4

3

（x+3），即y=

4

3

x+4，
当P点坐标为（27，0）时，直线PQ的解析式为：y=

4

3

（x-27），即y=

4

3

x-36，
综上可知满足条件的直线PQ的解析式为x=24或y=

4

3

x+4或y=

4

3

x-36．

点评：本题主要考查一次函数解析式的求法及全等三角形的性质的应用，解题的关键是求得P点的坐标．