Question

【题目】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG、DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：BG=AE．理由如下：

如图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

点D是BC的中点，

∴BD=CD=AD，

∵在△BDG和△ADE中， ，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE

（2）解：证明：连接AD，

∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，

∴AD=BD，AD⊥BC，

∴∠ADG+∠GDB=90°，

∵EFGD为正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE，

在△BDG和△ADE中， ，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE．

【解析】（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．