Question

【题目】如图，在 中， ， ， ， ， 的平分线相交于点 ，过点 作 交 于点 ，则 的长为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解 ：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H ，

∵EF∥BC、∠ABC=90，
∴FD⊥AB，
∴∠EDB=90°
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=90°
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，FD⊥AB，EG⊥BC，EH⊥AC;
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵∠DAE=∠HAE ,AE=AE ,∠ADE=∠AHE，
∴△DAE≌△HAE，
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
设BD=BG=x，则AD=AH=6x、CG=CH=8x，
∵AC=，
∴6x+8x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴AD∶AB=DF∶BC,即4∶6=DF∶8，
解得：DF=，
则EF=DFDE=2=，
故选：C.
如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H ,根据平行线的性质得出 ∠EDB=90°，根据垂直的定义得出 ∠EGB=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，得出四边形BDEG是矩形， 根据角平分线的性质定理得出ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，根据一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BDEG是正方形，然后利用AAS判断出△DAE≌△HAE，根据全等三角形对应边相等得出AD=AH，同理得出CG=CH，根据勾股定理得出AC的长，设BD=BG=x，则AD=AH=6x、CG=CH=8x，进而根据线段的和差得出方程6x+8x=10，求解得出x的值，进而得出BD=DE=2，AD=4，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似得出△ADF∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出AD∶AB=DF∶BC,即4∶6=DF∶8，从而得出DF的长，根据EF=DFDE算出结果。