Question

【题目】综合与实践

一、问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，矩形ABCD中，AD＝2AB，连接AC，将△ABC绕点A旋转到某一位置，观察图形，提出问题并加以解决．

二、实践操作，解决问题

(1)如图2，慎思组的间学将图1中的△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到△A'B'C'，此时B'C'过点D，则∠ADB′＝____度．

(2)博学组的同学在图2的基础上继续旋转到图3，此时点C落在CD的延长线上，连接BB'，该组提出下面两个问题，并请你解决该组提出的这两个问题．

①C'D和AB有何数量关系？并说明理由．

②BB'和AC'有何位置关系？并说明理由．

(3)精英组的同学在图3的基础上按逆时针方向旋转至AB'与对角线AC重合时，B'C'与AD交于点M，如图4，则S：S△ABC＝_____．

Answer 1

【答案】(1)30；(2)①C′D＝AB；②AC′∥BB′；(3)3：4．

【解析】

(1)由旋转性质知AB＝AB′、∠B′＝∠B＝90°，结合AD＝BC＝2AB可得AD＝2AB′，根据直角三角形的性质可得答案；

(2)①利用“HL”证Rt△ADC′≌Rt△ABC即可得；②过点C′作C′H垂直于BA延长线于点H，证△C′HA≌△C′B′A得∠HAC′＝∠C′AB，由AB＝AB′知∠ABB′＝∠AB′B，据此根据∠HAB′＝∠ABB′+∠AB′B可得2∠C′AB′＝2∠AB′B，即可得证；

(3)设AB＝a，则BC＝2a，求出MC′：B′C′的值即可解决问题．

解：(1)由题意知△ABC≌△AB′C′，

∴AB＝AB′、∠B′＝∠B＝90°，

∵AD＝BC＝2AB，

∴在Rt△AB′D中，AD＝2AB′，

则∠ADB′＝30°，

故答案为：30；

(2)①C′D＝AB，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC、∠ABC＝∠ADC＝∠ADC′＝90°，

由旋转知AC′＝AC，

在Rt△ADC′和Rt△ABC中，

∵ ，

∴Rt△ADC′≌Rt△ABC(HL)，

∴C′D＝AB；

②结论：AC′∥BB′；

理由：如图a，过点C′作C′H垂直于BA延长线于点H，

则四边形HADC′是矩形，

∴C′H＝AD、AH＝C′D＝AB，

在△C′HA和△C′B′A中，

∴△C′HA≌△C′B′A(SSS)，

∴∠HAC′＝∠C′AB，

又∵AB＝AB′，

∴∠ABB′＝∠AB′B，

在△ABB′中，∠HAB′＝∠ABB′+∠AB′B，即∠HAC′+∠C′AB′＝∠ABB′+∠AB′B，

∴2∠C′AB′＝2∠AB′B，

∴∠C′AB′＝∠AB′B，

∴AC′∥BB′；

(3)如图4中，设AB＝a，则BC＝2a，

∵AD∥BC，

∴∠MAB′＝∠ACB，

∵∠AB′M＝∠B＝90°，

∴△AB′M∽△CBA，

∴B′M：AB＝AB′：BC，

∴B′M：a＝a：2a，

∴BM′＝

∵B′C′＝2a，

∴MC′＝

∴MC′：B′C′＝3：4，

∴S△AC′M：S△ABC＝3：4，

故答案为：3：4．