Question

【题目】在数学活动中，小明发现将两块不同的等腰直角三角板进行旋转，能得到一组结论：在其中一块三角板Rt△ABC，AB＝BC＝4，∠B为直角，将另一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于E、F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．

（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，求出CF；若不能，请说明理由；

（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图②加以证明；

（3）若将三角板的直角原点放在斜边上的点P处（如图③），当，PF和PE有怎样的数量关系，证明你发现的结论．

Answer 1

【答案】（1）CF＝2或CF＝4；（2）OE＝OF，理由详见解析；（3）PF＝4PE，理由详见解析.

【解析】

△OFC能成为等腰直角三角形，分∠OFC＝90°和∠COF＝90°两种情况求FC的长即可；（2）OE＝OF，连结OB，CF，根据已知条件易证OB＝OC、∠EBO=∠OCF=135°、∠EOB＝∠FOC．利用ASA证明△OEB≌△OFC，即可得OE=OF；（3）PF＝4PE，如图③，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证明△PME∽△PNF，△APM∽△PCN，利用相似三角形的性质可得，由此即可求得，结论得证.

解：（1）△OFC能成为等腰直角三角形，

∵Rt△ABC，AB＝BC＝4，

∴∠C＝45°，

∵△OFC是等腰直角三角形，

∴∠OFC＝90°或∠COF＝90°，

当∠OFC＝90°时，OF⊥BC，

∵∠B＝90°，

∴OF∥AB，

∵点O是AC的中点，

∴点F是BC的中点，

∴CF＝BC＝2，

当∠COF＝90°时，此时点F和点B重合，CF＝BC＝4，

即：CF＝2或CF＝4；

（2）OE＝OF，

理由：连结OB，CF，如图②，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，O点为AC的中点，

∴OB＝AC＝OC，∠BOC＝90°，∠ABO=∠ACB=45°，

∴∠EBO=∠OCF=135°．

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOB＝∠FOC．

在△OEB和△OFC中，

，

∴△OEB≌△OFC．

∴OE=OF；

（3）PF＝4PE，如图③，过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，

∵∠B＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∵∠EPF＝90°，

∴∠EPN＝∠FPM．

∵∠ENP＝∠FMP＝90°，

∴△PNE∽△PMF，

∴ ，

∵△APN和△PCM为等腰直角三角形，

∴△APM∽△PCN，

∴,

∴

∵，

∴，

∴，

即：PF＝4PE．