Question

【题目】如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，且AD平分∠BAC．嘉淇同学先是以A为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交AC于点Q，然后以点C为圆心，AP长为半径画弧，交AC于点M，再以M为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点N，作射线CN，交BA的延长线于点E．

（1）通过嘉淇的作图方法判断AD与CE的位置关系是　 ，数量关系是　 ；

（2）求证：AB＝AC；

（3）若BC＝24，CE＝10，求△ABC的内心到BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）AD∥CE，EC＝2AD；（2）见解析；（3）r＝．

【解析】

（1）由作图方法可知∠DAC＝∠ACE，则AD∥CE，根据BC＝2BD，可证CE＝2AD；

（2）由（1）知△ABD∽△EBC，证出BE＝2AB，得AB＝AE，又AC＝AE，则AB＝AC；

（3）设△ABC内心到BC距离为r，可得，即可求出r．

（1）∵嘉淇的作图方法可知∠DAC＝∠ACE，

∴AD∥CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴，

∵AD为边BC上的中线，

∴BC＝2BD，

∴CE＝2AD，

故答案为：AD∥CE，EC＝2AD；

（2）证明：∵AD∥CE，

∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠ACE＝∠E，

∴AC＝AE，

由（1）知△ABD∽△EBC，

∴，

∴EB＝2AB，即AB＝AE，

∴AB＝AC．

（3）解：∵BC＝24，CE＝10，

∴BD＝12，AD＝5，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BD，

设△ABC内心到BC距离为r，

∴，

∴，

∴60﹣12r＝13r

∴25r＝60，

∴r＝．