Question

【题目】两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，四边形AFBD是什么特殊四边形？请给出证明；

（3）当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，猜想△ABC应满足什么条件？请直接写出结论：在此条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请在图3位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：S△ABC=S四边形AFBD，理由如下：

由题意可得：AD∥EC，

则S△ADF=S△ABD，

故S△ACF=S△ADF=S△ABD，

则S△ABC=S四边形AFBD；

（2）解：当点F平移到线段BC的中点时，四边形AFBD是平行四边形，理由如下：

∵F为BC的中点，

∴CF=BF，

∵CF=AD，

∴AD=BF，由平移可知AD∥BF，

∴四边形AFBD为平行四边形；

（3）解：如图3所示：△ABC为等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°；理由如下：

由（2）得：四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，

∴平行四边形AFBD为矩形，

∵∠BAC=90°，F为BC的中点，

∴AF= BC=BF，

∴四边形AFBD是正方形；

设CF=k，则GF=EF=CB=2k，

由勾股定理得：CG= = k，

sin∠CGF= = = ．

【解析】（1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案；（2）证出AD=BF，由平移可知AD∥BF，利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形即可；（3）根据题意画出图形，由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，证出平行四边形AFBD为矩形，由直角三角形斜边上的中线性质得出AF= BC=BF，得出四边形AFBD是正方形；设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理求出CG，利用sin∠CGF= 求出即可．