如图所示.在平面直角坐标系中.矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上.边OC在y轴的正半轴上.且AB=1.OB=$\sqrt{3}$.矩形ABOC绕点O按逆时针方向旋转60°后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E.点B的对应点为点F．点C的对应点为点D．(1)证明点E在y轴上.并求点E的坐标,(2)求过点A.E.D的抛物线的函数表达式,(3)在x轴的上方是否存在点P.点Q.使以点O.B.P.Q为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=$\sqrt{3}$，矩形ABOC绕点O按逆时针方向旋转60°后得到矩形EFOD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．点C的对应点为点D．
（1）证明点E在y轴上，并求点E的坐标；
（2）求过点A，E，D的抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P、点Q，使以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形，ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）可连接OA，通过证∠AOE=60°，即与旋转角相同来得出OE在y轴上的结论．
（2）已知AB，OB的长即可求出A的坐标，在直角三角形OEF中，可用勾股定理求出OE的长，也就能求得E点的坐标，要想得出抛物线的解析式还少D点的坐标，可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形，根据OD的长和∠DOx的正弦和余弦值来求出D的坐标；求出A、E、D三点坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出矩形的面积，进而可得出平行四边形OBPQ的面积．由于平行四边形中OB边的长是定值，因此可根据平行四边形的面积求出P点的纵坐标（由于P点在x轴上方，因此P的纵坐标为正数），然后将P点的纵坐标代入抛物线中可求出P点的坐标．求出P点的坐标后，将P点分别向左、向右平移OB个单位即可得出Q点的坐标，由此可得出符合条件的两个P点坐标和四个Q点坐标．

解答解：（1）连接AO，如图，在RT△ABO中，
∵AB=1，BO=$\sqrt{3}$，
∴AO=2，
∴sin∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=30°，
由题意可知：∠AOE=60°，
∴∠BOE=∠AOB+∠ADE=30°+60°=90°，
∵边BO在x轴的负半轴上，
∴E在y轴的正半轴上，
又∵EO=AO=2，
∴点E的坐标为（0，2）；
（2）过点D作DM⊥x轴于点M，
∵OD=1，∠DOM=30°，
∴在RT△DOM中，DM=$\frac{1}{2}$，OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵AO=2，点A在第二象限，
∴点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）
∵设过点A，E，D的抛物线为y=ax²+bx+c，
∵经过点E，
∴c=2
由题意，将A（-$\sqrt{3}$，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入y=ax²+bx+2中，得$\left\{\begin{array}{l}{3a-\sqrt{3}b+2=1}\\{\frac{3}{4}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+2=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{8}{9}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线表达式为：y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2；

（3）存在符合条件的点P，点Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面积=AB•BO=$\sqrt{3}$，
∴以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为2$\sqrt{3}$．
由题意可知OB为此平行四边形一边，
又∵OB=$\sqrt{3}$，
∴OB边上的高为2，
依题意设点P的坐标为（m，2），
∵点P在抛物线y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$x+2上，
-$\frac{8}{9}$m²-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$m+2=2，
解得，m₁=0，m₂=-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴P₁（0，2），P₂（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2），
∵以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=$\sqrt{3}$，
∴当点P₁的坐标为（0，2）时，点Q的坐标分别为Q₁（-$\sqrt{3}$，2），Q₂（$\sqrt{3}$，2）；
当点P₂的坐标为（-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，2）时，点Q的坐标分别为Q₃（-$\frac{13\sqrt{3}}{8}$，2），Q₄（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，2）．

点评本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．

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