Question

【题目】已知直线y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B，点C（1，n）在直线AB上，点D在y轴的负半轴上，且CD=．

（1）求点C、点D的坐标.

（2）若P为y轴上的点，当△PCD为等腰三角形时，求点P的坐标.

（3）若点M为x轴上一动点（点M不与点O重合），N为直线y＝2x－5上一动点，是否存在点M、N，使得△AMN与△AOB全等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）C（1，-3），D（0，-6）；（2）P(0, ) 、P(0, ) 、P(0,0)、P(0, )；（3）N（5,5）或N（）或N（）.

【解析】试题分析：（1）先确定点C的坐标，设点D坐标为（0，d）(d<0)，则有CD2=（1-0）2+（-3-d）2=，解之即可得；

（2）分别以点C、点D为圆心，CD为半径画圆，圆与y轴即为满足条件的点，作CD的中垂线与y轴的交点也满足条件，然后根据CD的长以及等腰三角形的性质即可得；

（3）分△AM1N1≌△AOB与△AM1N1≌△ABO两种情况，画出相应的图形进行求解即可得.

试题解析：（1）当x=1时，y＝2x－5=-3，所以C（1，-3），

设点D坐标为（0，d）(d<0)，则有CD2=（1-0）2+（-3-d）2= ，解得：d=0（舍去）或d=-6，所以D（0，-6）；

（2）当P1C=CD时，由（1）计算可知此时P1与原点O重合，所以P1（0，0），

当PC为底时，如图，此时PD=CD= ，所以P2（0，-6-）、P3（0，-6+），

当CD为底边时，设P点坐标为（0，p），由题意则有（-3-p）2+12=(-6-p)2，解得：p= ，所以P4（0， ），

综上，点P坐标为： P1(0，0)、P2(0， ) 、P3(0， )、P4(0， )；

(3)由y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B可知OA=2.5，OB=5，AB= ，

如图所示，当△AM1N1≌△AOB时，AM=AO，M1N1=OB，所以N1（5，5），

当△AM1N1≌△ABO时，AN3=AO=2.5，过点N3作N3E2⊥OA，

则有△AE2N3∽△AOB，∴ ，

即，∴E2N3= ，AE2= ，

同理E1N2= ，AE1= ，

∴N3（），N2（），

综上，点N的坐标为：N1（5，5），N2（），N3（）.