Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点.

(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；

(2)求证：∠ABC=90°；

(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】(1) A(1，1) ，B(2，0)，C(﹣1，﹣3) (2)见解析 （3）(，)

【解析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；

（2）由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；

（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标.

（1）∵y=-x2+2x=-（x-1）2+1，

∴抛物线顶点坐标A（1，1），

联立抛物线与直线解析式可得，解得或，

∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）证明：

由（1）可知B（2，0），C（-1，-3），A（1，1），

∴AB2=（1-2）2+12=2，BC2=（-1-2）2+（-3）2=18，AC2=（-1-1）2+（-3-1）2=20，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°；

（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，

设P（t，-t2+2t），则G（t，t-2），

∵点P在直线BC上方，

∴PG=-t2+2t-（t-2）=-t2+t+2=-（t-）2+，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2-（-1）]=PG=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴当t=时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（，），

即存在满足条件的点P，其坐标为（，）