Question

设实数a，b，c，m满足条件

a

m+2

+

b

m+1

+

c

m

=0，且a≥0，m＞0，求证：方程ax²+bx+c=0有一根x₀，满足0＜x₀＜1．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：证明题

分析：利用当c=0以及c＞0和c＜0，分别将已知变形得出 f（x）有一个根x=

m+1

m+2

在（0，1）间，进而得出答案．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c，
如果c=0，那么

a

m+2

+

b

m+1

+

c

m

=0，则

a

m+2

+

b

m+1

=0，
故

a(m+1)

m+2

+b=0，
即f（

m+1

m+2

）=0．
f（x）有一个根x=

m+1

m+2

在（0，1）间．
如果c＞0，
∵

a

m+2

+

b

m+1

+

c

m

=0
∴

am

m+2

+

bm

m+1

+c=0
故

bm

m+1

+c=

-am

m+2

，
则f（

m

m+1

）=

am2

(m+1)2

+

bm

m+1

+c
=

am2

(m+1)2

+

-am

m+2

=am（

m

(m+1)2

-

1

m+2

）
=am×

m(m+2)-(m+1)2

(m+2)(m+1)2

=-

am

(m+2)(m+1)2

≤0，
 所以f（0）＞0，f（

m

m+1

）≤0．故f（x）必有一根在0和

m

m+1

之间，
即方程ax²+bx+c=0有一根x₀，满足0＜x₀＜1；
若c＜0，f（1）=a+b+c=a+（m+1）[-

c

m

-

a

m+2

]+c=

a

m+2

-

c

m

＞0，
故方程f（x）=0在（

m

m+1

，1）内有解．
综上所述：方程ax²+bx+c=0有一根x₀，满足0＜x₀＜1．

点评：此题主要考查了一元二次方程根的分布，正确分类讨论得出是解题关键．