Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点E，F，点D在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBD．
（1）求证：DB是⊙O的切线；
（2）如图2，若AB=BD，FE的延长线与AB的延长线交于点P，求证：2BE²=BP•DC．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连结AE，如图1利用圆周角定理由AB为直径得到∠AEB=90°，则AE⊥BC，∠1+∠3=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠1=∠2，加上∠CAB=2∠CBD，所以∠1=∠CBD，则∠CBD+∠3=90°，然后根据切线得判定定理即可得到结论；
（2）先由AB=DB得到∠BAD=∠D，而∠BEP=∠BAD，则∠BEP=∠D，再由AB=AC得到∠ABC=∠ACB，于是利用等角的补角相等得到∠EBP=∠DCB，则可证明
△BEP∽△CDB，利用相似比得BE•BC=BP•DC，然后把BC=2BE代入即可得到结论．

解答：证明：（1）连结AE，如图1，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，∠1+∠3=90°，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，即∠1=∠2，
∵∠CAB=2∠CBD，
∴∠1=∠CBD，
∴∠CBD+∠3=90°，
∴AB⊥BD，
∴DB是⊙O的切线；
（2）∵AB=DB，
∴∠BAD=∠D，
∵四边形ABEF为圆的内接四边形，
∴∠BEP=∠BAD，
∴∠BEP=∠D，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBP=∠DCB，
∴△BEP∽△CDB，
∴

BE

CD

=

BP

BC

，
∴BE•BC=BP•DC，
由（1）得到BE=CE，即BC=2BE，
∴2BE²=BP•DC．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．