Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，∠BAC=45°，原题设其他条件不变．求证：AB=BF+EF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；

（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角角边”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=BF．

∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°．

∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF．

在△AEF和△BCF中，∵，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴EF=FC．

∵AC=AF+FC，AB=AC，∴AB=AF+FC=BF+EF．