【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c均是常数)经过点O(0,0),A(4,4
),与x轴的另一交点为点B,且抛物线对称轴与线段OA交于点P.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)过点P作x轴的平行线l,若点Q是直线上的动点,连接QB.
①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,求点Q的坐标;
②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时,求点Q的坐标(直接写出答案即可).
【答案】(1)y=﹣(x﹣
)2+
;(
,
);(2)①(﹣
,
)或(
,
);②(0,
);
【解析】
1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入
y=﹣x2+bx+c,转化为解方程组即可.
(2)先求出直线OA的解析式,点B坐标,抛物线的对称轴即可解决问题.
(3)①如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,首先证明四边形BOQC是菱形,设Q(m,),根据OQ=OB=5,可得方程
,解方程即可解决问题.
②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动,当A,D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.先求出D、H两点坐标,再求出直线BH的解析式即可解决问题.
(1)把O(0,0),A(4,4)的坐标代入y=﹣
x2+bx+c,
得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5
x=﹣
(x﹣
)2+
.
所以抛物线的顶点坐标为(,
);
(2)①由题意B(5,0),A(4,4),
∴直线OA的解析式为y=x,AB=
=7,
∵抛物线的对称轴x=,
∴P(,
).
如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,
∵QC∥OB,
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC,
∴CQ=BC=OB=5,
∴四边形BOQC是平行四边形,
∵BO=BC,
∴四边形BOQC是菱形,
设Q(m,),
∴OQ=OB=5,
∴m2+()2=52,
∴m=±,
∴点Q坐标为(﹣,
)或(
,
);
②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动,当A、D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.
∵AB=7,BD=5,
∴AD=2,D(,
),
∵OH=HD,
∴H(,
),
∴直线BH的解析式为y=﹣x+
,
当y=时,x=0,
∴Q(0,).
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【题目】如图,抛物线y=mx2+2mx+n经过A(﹣3,0),C(0,﹣)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E,写出点E的坐标,并求AC、BE的交点F的坐标
(3)若抛物线的顶点为D,连结DC、DE,四边形CDEF是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.
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【题目】某班将举行“数学知识竞赛”活动,班长安排小明购买奖品,下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)试计算两种笔记本各买了多少本?
(2)请你解释:小明为什么不可能找回68元?
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【题目】为了进一步了解某校初中学生的体质健康状况,对八年级的部分学生进行了体质监测,同时统计了每个人的得分(假设这个得分为,满分为50分).体质检测的成绩分为四个等级:优秀
、良好
、合格
、不合格
.根据调查结果绘制了下列两福不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息回答以下问题:
(1)补全上面的扇形统计图和条形统计图;
(2)被测试的部分八年级学生的体质测试成绩的中位数落在 等级:
(3)若该校八年级有1400名学生,估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有多少人?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上一点O为圆心,OB为半径作⊙O,交AC于点E,交AB于点D,且∠BEC=∠BDE.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)连接OC交BE于点F,若,求
的值.
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【题目】在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中,甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现,分别给出“待定”(用字母W表示)或“通过”(用字母P表示)的结论.
(1)请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论;
(2)对于小选手琪琪,只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少?
(3)比赛规定,三位评委中至少有两位给出“通过”的结论,则小选手可入围进入复赛,问琪琪进入复赛的概率是多少?
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