Question

如图（1），△AB₁C₁是边长为1的等边三角形；如图（2），取AB₁的中点C₂，画等边三角形AB₂C₂，连接B₁B₂；如图（3），取AB₂的中点C₃；画等边三角形AB₃C₃，连接B₂B₃；如图（4），取AB₃的中点C₄，画等边三角形AB₄C₄，连接B₃B₄，则B₃B₄的长为

 

．若按照这种规律一直画下去，则B_nB_n+1的长为

 

（用含n的式子表示）

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：规律型

分析：过点C₂作C₂D⊥B₁B₂于点D，根据锐角三角函数的定义得出B₁D的长，进而得出B₁B₂的长，同理可得出B₂B₃的长，找出规律即可得出结论．

解答：解：如图（2），
过点C₂作C₂D⊥B₁B₂于点D，
∵△AB₁C₁是边长为1的等边三角形，C₂是AB₁的中点，
∴B₁C₂=B₂C₂=

1

2

．
∵△AB₂C₂是等边三角形，
∴∠B₁C₂B₂=120°，B₁C₂=B₂C₂，
∴∠DB₁C₁=∠DB₂C₂=30°，
∴B₁D=B₁C₂•cos30°=

1

2

×

3

2

=

3

4

，
∴B₁B₂=2B₁D=

3

2

，
同理可得，B₂B₃=

3

22

，B₃B₄=

3

23

…，
∴B_nB_n+1=

3

2n

．
故答案为：

3

23

，

3

2n

．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出B₁B₂的长，找出规律是解答此题的关键．