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    5．如图，将抛物线M1：y1=ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y2，记为M2，直线y=x与M1
    的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是-3．
    （1）①求a的值和M2的表达式；②求点B的坐标；
    （2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．
    ①当点C的横坐标为2时，直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；
    ②在点C的运动过程中，若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，请你直接写出n的取值范围．
    （3）将抛物线M1重新适当平移，使平移后的抛物线M3的顶点为P（0，k）．过点B作BH⊥x轴于H，若抛物线M3与△OBH的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．

    分析 （1）①将点A横坐标代入y=x，即可得出点A纵坐标，从而得出点A的坐标，根据点A在抛物线M1：y=ax2+4x上，代入即可得出a的值，将抛物线M1化为顶点式，根据平移的原则即可得出抛物线M2；
    ②将y=x代入M2的表达式，即可点B的坐标；
    （2）①把点C横坐标代入y=x，即可得出点C坐标，从而得出点F坐标，把点F代入y=x+n即可得出n的值；
    ②根据直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，直接可得出n的取值范围；
    （3）抛物线M3与△OBH的边界总有两个公共点，即抛物线与线段OB有2个交点时，k的取值范围．

    解答 解：（1）①∵点A在直线y=x，且点A的横坐标是-3，
    ∴A（-3，-3），
    把A（-3，-3）代入y=ax2+4x，
    解得a=1．
    ∴M1：y=x2+4x，顶点为（-2，-4）．
    ∴M2的顶点为（1，-1），
    ∴M2的表达式为y=x2-2x；

    ②将y=x代入y=x2-2x，得x=x2-2x，
    解得x1=3，x2=0（舍去），
    ∴点B的坐标为（3，3）；

    （2）①由题意，C（2，2），
    ∴F（4，2）．
    ∵直线y=x+n经过点F，
    ∴2=4+n，
    解得n=-2；

    ②由题意得：n的取值范围是n＞3，n＜-6；

    （3）由题意，抛物线M3的解析式为y=x2+k．   
    当抛物线经过点H（3，0）时，32+k=0，
    解得k=-9．                            
    ∵O（0，0），B（3，3），
    ∴直线OB的解析式为y=x．
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+k}\end{array}\right.$，
    得x2-x+k=0，①
    当△=（-1）2-4×1×k=0，即k=$\frac{1}{4}$时，抛物线M3与直线OB只有一个公共点，
    此时方程①化为x2-x+$\frac{1}{4}$=0，
    解得x=$\frac{1}{2}$，
    即公共点的横坐标为$\frac{1}{2}$，此时公共点在线段OB上．
    ∴k的取值范围是-9＜k＜$\frac{1}{4}$．

    点评 本题是二次函数的综合题，涉及的知识点：用待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两函数交点坐标的求法，二次函数图象与几何变换，利用方程思想与数形结合是解题的关键．

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