Question

19．现有三个正整数，其中每一个都小于2000，而其中每两个数的最小公倍数都大于2000．证明：这些数的倒数之和小于2．

Answer 1

分析 先根据每两个数的最小公倍数都大于2000，每一个都小于2000得到这三个数大于等于2，再根据倒数的定义得到$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{c}$≤$\frac{1}{2}$，依此即可求解．

解答 证明：∵每两个数的最小公倍数都大于2000，每一个都小于2000，
∴这三个正整数没有1，即这三个数大于等于2，
设这三个数是a，b，c，
则$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{c}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≤$\frac{3}{2}$＜2．

点评 考查了约数与倍数，根据题意得到这三个数大于等于2是解题的关键．