Question

11．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由DE与CO平行，利用两直线平行内错角相等、同位角相等得到两对角相等，再由OD=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠COB=∠COD，再由OD=OB，OC为公共边，利用SAS得出三角形BCO与三角形DCO全等，由全等三角形对应角相等得到一对角相等，由BC为圆的切线，利用切线的性质得到∠CBO=90°，进而得到∠CDO=90°，再由OD为圆的半径，即可得到CD为圆O的切线；
（2）根据切割线定理求得AB的长，然后CD=BC=x，则AC=2+x，由勾股定理列方程求解即可求得．

解答 （1）证明：连接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO，
∵OD=OE，
∴∠DEO=∠EDO，
∴∠COB=∠COD，
在△BCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠COB=∠COD}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO=∠CBO，
∵BC为圆O的切线，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵OD为圆的半径，
∴CD为圆O的切线；

（2）解：∵CD，BC分别切⊙O于D，B，
∴CD=BC，
∵AD²=AE•AB，即2²=1•AB，
∴AB=4，
设CD=BC=x，则AC=2+x，
∵A²C=AB²+BC²
∴（2+x）²=4²+x²，
解得：x=3，
∴CD=3．

点评 此题考查了切线的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．