Question

试求非负整数对（x，y，z）满足方程2^x+3^y=z²．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：若y=0，可求得方程的一组解（x，y，z）=（3，0，3）．若y＞0，分x为奇数与偶数两种情形考虑求解即可．

解答：解：若y=0，则有（z+1）（z-1）=2^x，
由于（z+1）-（z-1）=2，
所以只能有z-1=2，z+1=4，得z=3，可得x=3，
所以求得方程的一组解（x，y，z）=（3，0，3）．
若y＞0，下面分x为奇数与偶数两种情形考虑．
当x=2k+1（k≥0，k∈Z）时，在方程2^x+3^y=z²两边mod3，得
z²=2^x（mod3）①
因为z²≡0，1（mod 3），2^2k+1≡2（mod3），所以①式不可能成立，此时方程无非负整数解．
当x=2k（k≥0，k∈Z）时，有3^y=（z-2k）（z+2k），
又因为（z+2k）-（z-2k）=2k+1，
所以z-2k=1，z+2k=3．
两式相减，得3y=2k+1+1②．
易知k=0时，y=1，得到一组解为（x，y，z）=（0，1，2）．
当k≥1时，2k+1≡0（mod4），所以在②式两端mod4后知y为偶数，
设y=2n（n≥0，n∈Z），则3n-1=2，3n+1=4．
得n=1，y=2，得方程的一组解为（x，y，z）=（4，2，5）．
综上，方程有3组解：（x，y，z）=（3，0，3）（0，1，2）（4，2，5）．

点评：考查了非一次不定方程（组），注意分若y=0，若y＞0，两种情况进行讨论，其中第二种情况分x为奇数与偶数两种情形考虑．