Question

【题目】如图，在边长为1的菱形ABCD中，DAB 60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一点，且AECF1．

（1）证明：无论E，F怎样移动，BEF总是等边三角形；

（2）求BEF 面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，得到是等边三角形，由菱形边长为1和，可得，利用边角边可以证明≌，利用全等三角形的性质推导可得为等边三角形；

（2）利用的边长表示，可知当的边长BE最小时就最小，可得当时BE最小，利用勾股定理求出，即可求得最小值．

解：（1）如图，连接，

∵四边形ABCD是边长为1的菱形，

∴

，

是等边三角形，

，，

∴

∵，

，

在和中，

，

，

∴，，

∴，即，

是等边三角形．

（2）如图，取BE中点为H，连结FH，

∵为等边三角形，

∴FG⊥BE，

设BE=EF=BF=a，则FG=，

∴，

∴当的边长最小时，取得最小值，此时BE⊥AD，

∴，

∴面积的最小值=．