Question

已知直线l：y=

1

2

x+1与抛物线y=ax²-2x+c（a＞0）的一个公共点A恰好在x轴上，点B（4，m）在抛物线上．
（Ⅰ）用含a的代数式表示c．
（Ⅱ）抛物线在A，B之间的部分（不包含点A，B）记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）先利用一次函数解析式求出A点坐标为（-2，0），然后把A点坐标代入抛物线解析式即可得到a与c的关系式；
（2）先分别计算出x=4时所对应的一次函数值和二次函数值，然后利用图形G在直线l下方得到12-12a≤3，然后解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）当y=0时，

1

2

x+1=0，解得x=-2，则A点坐标为（-2，0），
把A（-2，0）代入y=ax²-2x+c得4a+4+c=0，
所以c=-4a-4；
（Ⅱ）当x=4时，y=ax²-2x+c=16a-8-4a-4=12a-12，则B（4，12a-12），
当x=4时，y=

1

2

x+1=3，
因为图形G在直线l下方，
所以12-12a≤3，
解得a≤

5

4

，
所以a的取值范围为0＜a≤

5

4

．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．