【题目】如图1在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知抛物线y=a(x+1)(x﹣3)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴交于点C,且∠ABC=45°.
(1)求a的值;
(2)如图2,点D在线段BC上(不与C重合),当AD=AC时,求D点坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,E为抛物线上一点,且在第一象限,过E作EF∥AD与AC相交于点F,当EF被BC平分时,求点E坐标.
【答案】
(1)
解:抛物线y=a(x+1)(x﹣3),
令y=0,则有a(x+1)(x﹣3)=0,
解得:x=﹣1,或x=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵∠ABC=45°,∠BOC=90°,
∴OB=OC=3,
∴C(0,3),
将点C(0,3)代入二次函数解析式得:
3=a×(0+1)×(0﹣3),
解得:a=﹣1
(2)
解:∵点A(﹣1,0),点C(0,3),点B(3,0),
∴AC= ,
又∵∠ABC=45°,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
设点D的坐标为(m,﹣m+3),
由两点间的距离公式可知:AD= ,
∵AD=AC= ,
∴有 = ,
解得:m=0(舍去),m=2,
此时﹣m+3=﹣2+3=1.
故当AD=AC时,D点坐标为(2,1)
(3)
解:设直线AD的解析式为y=kx+b,
将A(﹣1,0),D(2,1)代入,得
,解得 .
∴直线AD的解析式为y= x+ .
∵EF∥AD,
∴设直线EF的解析式为y= x+c.
令﹣x+3= x+c,则有x= (3﹣c).
将y= x+c代入y=﹣1(x+1)(x﹣3)中,得
﹣(3﹣c)=0,
由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣ = .
∵EF被BC平分,
∴EF与BC的交点的横坐标为 ,
即 (3﹣c)×2= ,解得:c= .
解方程 ﹣(3﹣ )=0,得:x1= ,x2= .
∵点E在第一象限,
∴点E的横坐标为 .
将x= 代入y= x+ 中得,y= .
∴点E的坐标为( , )
【解析】(1)通过抛物线解析式求出点AB坐标,利用等腰直角三角形性质求出C点坐标,代入抛物线即可求出a值;(2)由B、C点坐标可得出直线BC的解析式,设出D点坐标(m,﹣m+3),由两点间的距离公式可表示出AD的长度,再由AC=AD找出关于m的一元二次方程,解方程求出m的值,代入到D点坐标中即可得出结论.(3)由A、D点坐标可得出直线AD的解析式,由EF平行AD设出直线EF的解析式,代入到抛物线中可得到关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系表示出两根之和,再由直线EF和BC的解析式可找出交点的坐标,根据EF被BC平分,可知交点的横坐标的2倍为前面一元二次方程的两根之和,解方程即可得出直线EF的解析式,从而得出点E的坐标.
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点,掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.即可以解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮一次,投中的概率约为(精确到0.1).
投篮次数(n) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 |
投中次数(m) | 28 | 60 | 78 | 104 | 123 | 152 | 251 |
投中频率(m/n) | 0.56 | 0.60 | 0.52 | 0.52 | 0.49 | 0.51 | 0.50 |
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出一个新的等腰Rt△,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边在同一直线上时为止,此时,这个直角三角形的斜边长为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形,若点C恰好落在AB上,且∠AOD的度数为90°,则∠B的度数是( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AD=18,点E在AC上且CE= AC,连接BE,与AD相交于点F.若BE=15,则△DBF的周长是
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【题目】如图,在△ABD中,AB=AD,以AB为直径的⊙F交BD于点C,交AD与点E,CG⊥AD于点G.
(1)求证:GC是⊙F的切线;
(2)填空:①若△BCF的面积为15,则△BDA的面积为
②当∠GCD的度数为时,四边形EFCD是菱形.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为( )
A.6.5
B.6
C.5.5
D.5
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【题目】如图,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3,AB=4,D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,若△A′EC是直角三角形,则AD长为 .
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