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【题目】如图1在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,已知抛物线y=a(x+1)(x﹣3)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴交于点C,且∠ABC=45°.

(1)求a的值;
(2)如图2,点D在线段BC上(不与C重合),当AD=AC时,求D点坐标;

(3)如图3,在(2)的条件下,E为抛物线上一点,且在第一象限,过E作EF∥AD与AC相交于点F,当EF被BC平分时,求点E坐标.

【答案】
(1)

解:抛物线y=a(x+1)(x﹣3),

令y=0,则有a(x+1)(x﹣3)=0,

解得:x=﹣1,或x=3,

∴A(﹣1,0),B(3,0),

∵∠ABC=45°,∠BOC=90°,

∴OB=OC=3,

∴C(0,3),

将点C(0,3)代入二次函数解析式得:

3=a×(0+1)×(0﹣3),

解得:a=﹣1


(2)

解:∵点A(﹣1,0),点C(0,3),点B(3,0),

∴AC=

又∵∠ABC=45°,

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,

设点D的坐标为(m,﹣m+3),

由两点间的距离公式可知:AD=

∵AD=AC=

∴有 =

解得:m=0(舍去),m=2,

此时﹣m+3=﹣2+3=1.

故当AD=AC时,D点坐标为(2,1)


(3)

解:设直线AD的解析式为y=kx+b,

将A(﹣1,0),D(2,1)代入,得

,解得

∴直线AD的解析式为y= x+

∵EF∥AD,

∴设直线EF的解析式为y= x+c.

令﹣x+3= x+c,则有x= (3﹣c).

将y= x+c代入y=﹣1(x+1)(x﹣3)中,得

﹣(3﹣c)=0,

由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣ =

∵EF被BC平分,

∴EF与BC的交点的横坐标为

(3﹣c)×2= ,解得:c=

解方程 ﹣(3﹣ )=0,得:x1= ,x2=

∵点E在第一象限,

∴点E的横坐标为

将x= 代入y= x+ 中得,y=

∴点E的坐标为(


【解析】(1)通过抛物线解析式求出点AB坐标,利用等腰直角三角形性质求出C点坐标,代入抛物线即可求出a值;(2)由B、C点坐标可得出直线BC的解析式,设出D点坐标(m,﹣m+3),由两点间的距离公式可表示出AD的长度,再由AC=AD找出关于m的一元二次方程,解方程求出m的值,代入到D点坐标中即可得出结论.(3)由A、D点坐标可得出直线AD的解析式,由EF平行AD设出直线EF的解析式,代入到抛物线中可得到关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系表示出两根之和,再由直线EF和BC的解析式可找出交点的坐标,根据EF被BC平分,可知交点的横坐标的2倍为前面一元二次方程的两根之和,解方程即可得出直线EF的解析式,从而得出点E的坐标.
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点,掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.即可以解答此题.

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投篮次数(n)

50

100

150

200

250

300

500

投中次数(m)

28

60

78

104

123

152

251

投中频率(m/n)

0.56

0.60

0.52

0.52

0.49

0.51

0.50

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