Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，∠ABC=30°，动点P从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤6），连接PQ，以PQ为直径作⊙O．

（1）当t=1时，求△BPQ的面积；

（2）设⊙O的面积为y，求y与t的函数解析式；

（3）若⊙O与Rt△ABC的一条边相切，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）当t=1时，S△BPQ=；（2）y= t2﹣18πt+27π；（3）若⊙O与Rt△ABC的一条边相切，t的值为3或或0或

【解析】

（1）连接DP，根据△BPM∽△BAC，可得PD=t，BQ=（6-t），然后得到S△BPQ=BQPD即可得出结论；

（2）先表示出DP，BD，进而利用勾股定理求出PQ的平方，最后用圆的面积公式即可得出结论；

（3）分当⊙O与BC相切、⊙O与AB相切，⊙O与AC相切时，三种情况分类讨论即可得出结论．

（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=6，

∴AB=12，BC=6，

由运动知，BP=2t，CQ=t，

∴BQ=BC﹣CQ=（6﹣t），

连接DP，

∵PQ是⊙O的直径，

∴∠PDQ=90°

∵∠C=90°，

∴PD∥AC．

∴△BPD∽△BAC，

∴

∴，

∴DP=t，BD=t，

S△BPQ=BQPD=×（6﹣t）t=﹣t2+3t

∴当t=1时，S△BPQ=﹣+3=；

（2）DQ=|BQ﹣BD|=（6﹣t）﹣t|=2|3﹣t|，PQ2=PD2+DQ2=t2+[2（3﹣t）]2=13t2﹣72t+108，

∴y=π×（）2=t2﹣18πt+27π，

（3）由运动知，BP=2t，CQ=t，

∴BQ=BC﹣CQ=（6﹣t），

当⊙O与BC相切时，PQ⊥BC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

∴t1=3，

当⊙O与AB相切时，PQ⊥AB，

∴△BPQ∽△BCA

∴，

∴，

∴t2=，

当⊙O与AC相切时，如图2，过点O作OH⊥AC于点H，交PD于点N，

∴OH∥BC，

∵点O是PQ的中点，

∴ON=QD，

由（1）知，BQ=（6﹣t），BD=t，

∴QD=BD﹣BQ=2（t﹣3），DC=BC﹣BD=6﹣t=（6﹣t）

∴OH=ON+NH=QD+DC=×2（t﹣3）+（6﹣t）=3，

∴PQ=2OH=6，

由（2）知，PQ2=13t2﹣72t+108

∴13t2﹣72t+108=36×3

解得t3=0，t4=，

综上所述，若⊙O与Rt△ABC的一条边相切，t的值为3或或0或 ．