【题目】已知:如图①,将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开,将△ADC沿射线DC方向平移,得到△BCE,点M为边BC上一点(点M不与点B、点C重合),将射线AM绕点A逆时针旋转60°,与EB的延长线交于点N,连接MN.
(1)①求证:∠ANB=∠AMC;
②探究△AMN的形状;
(2)如图②,若菱形ABCD变为正方形ABCD,将射线AM绕点A逆时针旋转45°,原题其他条件不变,(1)中的①、②两个结论是否仍然成立?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明.
【答案】(1)①证明见解析;②△AMN是等边三角形,理由见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)①先由菱形可知四边相等,再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC,则对角线AC与四边都相等,利用ASA证明△ANB≌△AMC,得结论;
②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出:△AMN是等边三角形
(2)①成立,根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°,证明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC;
②不成立,△AMN是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式进行变形后,再证明△NAM∽△BAD,则△AMN是等腰直角三角形
(1)如图1,①∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∵∠D=60°,
∴△ADC和△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠NAM=60°,
∴∠NAB=∠CAM,
由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE,可知∠CBE=60°,
∵∠ABC=60°,
∴∠ABN=60°,
∴∠ABN=∠ACB=60°,
∴△ANB≌△AMC,
∴∠ANB=∠AMC;
②如图1,△AMN是等边三角形,理由是:
由∴△ANB≌△AMC,
∴AM=AN,
∵∠NAM=60°,
∴△AMN是等边三角形;
(2)①如图2,∠ANB=∠AMC成立,理由是:
在正方形ABCD中,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°,
∵∠NAM=45°,
∴∠NAB=∠MAC,
由平移得:∠EBC=∠CAD=45°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°,
∴∠ABN=∠ACM=45°,
∴△ANB∽△AMC,
∴∠ANB=∠AMC;
②如图2,不成立,
△AMN是等腰直角三角形,理由是:
∵△ANB∽△AMC,
∴ ,
∴ ,
∵∠NAM=∠BAC=45°,
∴△NAM∽△BAC,
∴∠ANM=∠ABC=90°,
∴△AMN是等腰直角三角形.
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【题目】如图,在边长4的正方形ABCD中,E是边BC的中点,将△CDE沿直线DE折叠后,点C落在点F处,冉将其打开、展平,得折痕DE。连接CF、BF、EF,延长BF交AD于点G。则下列结论:①BG= DE;②CF⊥BG;③sin∠DFG= ;④S△DFG=.其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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【题目】如图,在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点,且俯角α为38°.从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点,且仰角β为28°.已知树高EF=8米,求塔CD的高度.(参考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,sin28°≈0.5,cos28°≈0.9,tan28°≈0.5)
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【题目】如图,正方形ABCD的对称中心在坐标原点,AB∥x轴,AD,BC分别与x轴交于E,F,连接BE,DF,若正方形ABCD的顶点B,D在双曲线y=上,实数a满足a1﹣a=1,则四边形DEBF的面积是( )
A. B. C. 1D. 2
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【题目】如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a,b,c]称为“抛物线系数”.
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是______(填“真”或“假”)命题;
(2)若一条抛物线系数为[1,0,-2],则其“抛物线三角形”的面积为________;
(3)若一条抛物线系数为[-1,2b,0],其“抛物线三角形”是个直角三角形,求该抛物线的解析式;
(4)在(3)的前提下,该抛物线的顶点为A,与x轴交于O,B两点,在抛物线上是否存在一点P,过P作PQ⊥x轴于点Q,使得△BPQ∽△OAB,如果存在,求出P点坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,小明同学观察得出了下面几条信息:①b2﹣4ac>0;②abc<0;③;④b2=4a(c﹣1);⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3无实数根,共中信息错误的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
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【题目】如图,已知⊙O的半径为5,P是直径AB的延长线上一点,BP=1,CD是⊙O的一条弦,CD=6,以PC,PD为相邻两边作PCED,当C,D点在圆周上运动时,线段PE长的最大值与最小值的差等于_____.
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【题目】问题提出
(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为 .
问题探究
(2)如图②,⊙O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是⊙O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).
图① 图② 图③
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