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【题目】已知:如图,将∠D60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开,将△ADC沿射线DC方向平移,得到△BCE,点M为边BC上一点(M不与点B、点C重合),将射线AM绕点A逆时针旋转60°,与EB的延长线交于点N,连接MN

(1)①求证:∠ANB=∠AMC

探究△AMN的形状;

(2)如图,若菱形ABCD变为正方形ABCD,将射线AM绕点A逆时针旋转45°,原题其他条件不变,(1)中的两个结论是否仍然成立?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明.

【答案】(1)①证明见解析;AMN是等边三角形,理由见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)①先由菱形可知四边相等,再由∠D=60°得等边ADC和等边ABC,则对角线AC与四边都相等,利用ASA证明ANB≌△AMC,得结论;

②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出:AMN是等边三角形

(2)①成立,根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°,证明ANBAMC,得∠ANB=AMC;

②不成立,AMN是等腰直角三角形,利用①中的ANBAMC,得比例式进行变形后,再证明NAMBAD,AMN是等腰直角三角形

(1)如图1,①∵四边形ABCD是菱形,

ABBCCDAD

∵∠D60°

∴△ADCABC是等边三角形,

ABAC,∠BAC60°

∵∠NAM60°

∴∠NAB=∠CAM

ADC沿射线DC方向平移得到BCE,可知∠CBE60°

∵∠ABC60°

∴∠ABN60°

∴∠ABN=∠ACB60°

∴△ANB≌△AMC

∴∠ANB=∠AMC

②如图1AMN是等边三角形,理由是:

由∴△ANB≌△AMC

AMAN

∵∠NAM60°

∴△AMN是等边三角形;

(2)①如图2,∠ANB=∠AMC成立,理由是:

在正方形ABCD中,

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA45°

∵∠NAM45°

∴∠NAB=∠MAC

由平移得:∠EBC=∠CAD45°

∵∠ABC90°

∴∠ABN180°90°45°45°

∴∠ABN=∠ACM45°

∴△ANB∽△AMC

∴∠ANB=∠AMC

②如图2,不成立,

AMN是等腰直角三角形,理由是:

∵△ANB∽△AMC

∵∠NAM=∠BAC45°

∴△NAM∽△BAC

∴∠ANM=∠ABC90°

∴△AMN是等腰直角三角形.

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