Question

【题目】中国古代对勾股定理有深刻的认识．

(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；

(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步： ＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．

Answer 1

【答案】（1）25；（2）这个直角三角形的三边长为15，20，25.

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解；

（2）先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．

试题解析：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13，

四个直角三角形的面积为ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12，

则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25；

(2)当S＝150时，k＝＝5，

所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.

所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.