Question

【题目】如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO=∠PBA．求点P的坐标

（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB=∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P 或；（3）MN的为定值，定值为5

【解析】

（1）由函数解析式可确定A(,0），B，再由；列出关于的方程即可求解；

（2）作线段BC的垂直平分线交轴于点D，此时DC=DB，构造∠ODB=2∠BCO=∠PBA，将∠BCO=∠PBA条件转化为，然后设P，根据列方程求解即可；

（3）由已知可求得，从而可得，进而可得点B、N到直线AM的距离相等，所以∥BN，再证明（ASA）即可得到MN=AB=5．

解：（1）把代入抛物线，得或，

∵点A在点B的左侧，

∴A(,0），B，

∵，

∴，

∴，

∴抛物线的函数表达式为：；

（2）如图③，作线段BC的垂直平分线交轴于点D，此时DC=DB，

∵DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC，

∴∠ODB=∠DCB+∠DBC=2∠BCO，

∵∠BCO=∠PBA，

∴∠PBA=2∠BCO，

∴∠ODB=∠PBA，

∴，

设P，DC=DB=，

∵，，

∴,，

∴，

在中，解得，

∴．

∵，

∴，即，解得，

∴或，

∴点P的坐标为或；

（3）MN的为定值，定值为5；

∵，点M到轴的距离为2L，

∴，

∵，

∴，

∵和有同底AM，

∴点B、N到直线AM的距离相等，

∴∥BN，

∴∠MAN=∠ANB，∠AMB=∠MBN，∠ABC=∠MAB，

∵∠ANB=∠MBN，

∴∠MAN=∠AMB，

∵===2，，

∴，

∴，

在和中， ，

∴（ASA），

∴MN=AB=5，

∴MN的为定值，定值为5．