【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q.
(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的;
(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)AP=2;(3)P在B点,C点,或在CP=4(-1)处,△ADQ是等腰三角形.
【解析】
试题分析:(1)可由SAS求得△ADQ≌△ABQ;
(2)过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,则QE=QF,若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的,则有S△ADQ=ADQE=S正方形ABCD,求得OE的值,再利用△DEQ∽△DAP有,解得AP值;
(3)点P运动时,△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种:有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD.由正方形的性质知,①当点P运动到与点B重合时,QD=QA,此时△ADQ是等腰三角形,②当点P与点C重合时,点Q与点C也重合,此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形,③当AD=AQ=4时,有CP=CQ,CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值.
试题解析:(1)在正方形ABCD中,
无论点P运动到AB上何处时,都有
AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,
∴△ADQ≌△ABQ;
(2)△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时,
过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,则QE=QF,
∵在边长为4的正方形ABCD中,
∴S正方形ABCD=16,
∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=,
∴QE=,
∵EQ∥AP,
∴△DEQ∽△DAP,
∴,即,
解得AP=2,
∴AP=2时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的;
(3)若△ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
①当AD=DQ时,则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°,P为C点,
②当AQ=DQ时,则∠DAQ=∠ADQ=45°,
∴∠AQD=90°,P为B,
③AD=AQ(P在BC上),
∴CQ=AC-AQ=BC-BC=(-1)BC
∵AD∥BC
∴,即可得=1,
∴CP=CQ=(-1)BC=4(-1)
综上,P在B点,C点,或在CP=4(-1)处,△ADQ是等腰三角形.
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【题目】某市规定每月用水18吨以内(包括18吨)的用户,每吨收水费a元:一个月用水超过18吨的用户,18吨水仍按每吨a元收费,超过18吨的部分,按每吨b元(ba)收费.设一户居民每月用水x吨,应收水费y元,y与x之间的函数关系如图;
(1)求a的值,某户居民上月用水10吨,应收水费多少元;
(2)求b的值,并写出当x18时,y与x之间的函数关系式.
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【题目】为举办校园文化艺术节,甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装(一人一套),两班共92人(其中甲班比乙班人多,且甲班不到90人),下面是供货商给出的演出服装的价格表:
购买服装的套数 | 1套至45套 | 46套至90套 | 91套以上 |
每套服装的价格 | 60元 | 50元 | 40元 |
如果两班单独给每位同学购买一套服装,那么一共应付5020元.
(1)甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装,比单独购买可以节省多少钱?
(2)甲、乙两班各有多少名同学?
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【题目】如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AD>AB,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接CE.若平行四边形ABCD的周长为20,则△CDE的周长是( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
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【题目】已知A(8,0)及在第一象限的动点P(x,y),且x+y=10,设△OPA的面积为S
(1)求S关于x的函数表达式;
(2)求x的取值范围;
(3)求S=12时P点坐标;
(4)画出函数S的图象.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c经过A、B、C三点,已知B(4,0),C(2,﹣6).
(1)求该抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)点D(m,n)(﹣1<m<2)在抛物线图象上,当△ACD的面积为时,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴为l,点D关于l的对称点为E,能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q,使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,已知在△ABC中,∠BAC>90°,点D为BC的中点,点E在AC上,将△CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处,连结AD,则下列结论不一定正确的是( )
A. AE=EF B. AB=2DE
C. △ADF和△ADE的面积相等 D. △ADE和△FDE的面积相等
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;
(4)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.
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【题目】我市某区为调查学生的视力变化情况,从全区九年级学生中抽取了部分学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成折线统计图和扇形统计图如下:
解答下列问题:
(1)该区共抽取了多少名九年级学生?
(2)若该区共有9万名九年级学生,请你估计2018年该区视力不良(4.9以下)的该年级学生大有多少人?
(3)扇形统计图中B的圆心角度数为____.
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