Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A、B、C三点，已知B（4，0），C（2，﹣6）．

（1）求该抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）点D（m，n）（﹣1＜m＜2）在抛物线图象上，当△ACD的面积为时，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴为l，点D关于l的对称点为E，能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标（﹣1，0）；（2）D（， ）．（3）能．理由见解析

【解析】分析：(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式,进而求出点A的坐标.(2)过D作DH垂直x轴于H,CG垂直x轴于G.则,进而求出D点坐标;(3)由D点坐标,可求得DE的长,当DE为边时,根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2,从而可求得P点坐标;当DE为对角线时,可知P点为抛物线的顶点,可求得P点坐标.

本题解析：

（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过B、C二点，且B（4，0），C（2，﹣6），

∴，

解得：，

∴该抛物线的解析式：y=x2﹣3x﹣4，

∵抛物线y=x2﹣3x﹣4经过点A，且点A在x轴上

∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1或x2=4（舍去）

∴点A的坐标（﹣1，0）；

（2）如图1，过D作DH垂直x轴于H，CG垂直x轴于G．

∵点D（m，n）（﹣1＜m＜2），C（2，﹣6）

∴点H（m，0），点G（2，0）．

则S△ACD=S△ADH+S四边形HDCG﹣S△ACG，

=|n|（m+1）+（|n|+6）（2﹣m）﹣（|﹣1|+2）×|﹣6|

=|n|﹣3m﹣3，

∵点D（m，n）在抛物线图象上，

∴n=m2﹣3m﹣4，

∵﹣1＜m＜2，即m2﹣3m﹣4＜0

∴|n|=4+3m﹣m2，

∵△ACD的面积为：，

∴（4+3m﹣m2）﹣3m﹣3=

即4m2﹣4m+1=0，

解得m=．

∴D（，）．

（3）能．理由如下：

∵y=x2﹣3x﹣4=，

∴抛物线的对称轴l为．

∵点D关于l的对称点为E，

∴E（，﹣），∴DE=﹣=2．[来源:Z&xx&k.Com]

①当DE为平行四边形的一条边时，如图2：

则PQ∥DE且PQ=DE=2．

∴点P的横坐标为+2=或﹣2=﹣．

∴点P的纵坐标为（﹣）2﹣=﹣．

∴点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣），

②当DE为平行四边形的一条对角线时，对角线PQ、DE互相平分，由于Q在抛物线对称轴上，对称轴l垂直平分DE，因此点P在对称轴与抛物线的交点上，即为抛物线顶点（，﹣）．

综上所述，存在点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．