Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD为边BC上的中线，CP⊥AD于点P，求证：AD•PB=AB•BD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：证明CD²=DP×DA，进而证明BD²=DP×DA，得到BD：CD=DA：BD；由∠BDP=∠ADB，得到△BDP∽△ADB，列出比例式，问题即可解决．

解答：证明：∵∠ACB=90°，CP⊥AD，
∴CD²=DP×DA（射影定理）；
∵CD=BD，
∴BD²=DP×DA，
∴BD：CD=DA：BD；
∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴AD：BD=AB：PB，
∴AD•PB=AB•BD．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．