Question

13．在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由于∠B=30°，则AD的长为定值，所以当DC与AC垂直时，CD最小，作直径AE，连结DE，过点D作DC′垂直切线于C′，交⊙O于B′，如图，先根据圆周角定理得到∠ADE=90°，∠E=∠B=30°，则∠EAD=60°，再在Rt△ADE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=$\frac{1}{2}$AE=6，接着根据切线的性质得∠OAC=90°，则∠CAD=30°，然后在Rt△DAC′中计算出DC′=$\frac{1}{2}$AD=3，于是可判断CD的最小值为3．

解答 解：作直径AE，连结DE，过点D作DC′垂直切线于C′，交⊙O于B′，如图，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠E=∠B=30°，
∴∠EAD=60°，
在Rt△ADE中，AD=$\frac{1}{2}$AE=6，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
在Rt△DAC′中，∵∠DAC′=30°，
∴DC′=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴当点C在C′点时，CD有最小值，最小值为3．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．