Question

【题目】抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3).

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0<t<3）.

①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，△PDE的面积最大，并求出这个最大值；

②当t =2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为： ；（2）①；②存在点F，使为直角三角形；F的坐标为（5，12）或（5，2）

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；

（2）①依题意知：点E的坐标为E（0，t），易得直线BC的解析式为yBC=-x+3，易得

点D的坐标为（， ），从而可得=（），利用二次函数的性质即可得面积的最大值；

②存在点F，使为直角三角形，分情况进行讨论即可得.

试题解析：（1）抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3)，则有

，解得： ，

所以抛物线的解析式为： ；

（2）①依题意知：点E的坐标为E（0，t），

又由点，C（0，3）易知：直线BC的解析式为yBC=-x+3，

∵过点E的直线与轴平行交直线BC于点D，

∴点D的纵坐标为t，

∴当-x+3=t时， ，

∴点D的坐标为（， ），

∵，

∴，

∴，

∴S△PDE=（），

，∴的面积有最大值，

∴当时，满足，

∴的面积的最大值为；

②存在点F，使为直角三角形；

理由如下：

当时，则有：P（4，0） ， ；

又易知抛物线的对称轴为：直线，

∵点F在直线上，

∴当为直角三角形时，直角顶点不可能在F处；

则应分两种情况：

设F的坐标为（5，m）, ∵ ， ，

∴， ， ，

当直角顶点在E处时， ，此时可求出，

当直角顶点在P处时， ，此时可求出，

∴F的坐标为（5，12）或（5，2）.