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【题目】如图,一次函数的图像与坐标轴交于AB两点,点C的坐标为,二次函数的图像经过ABC三点.

1)求二次函数的解析式

2)如图1,已知点在抛物线上,作射线BD,点Q为线段AB上一点,过点Q轴于点M,作于点N,过Q轴交抛物线于点P,当QMQN的积最大时,求点P的坐标;

3)在(2)的条件下,连接AP,若点E为抛物线上一点,且满足,求点E的坐标.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)求出AB的坐标,设二次函数解析式为,把A02)代入即可得出结论;

2)先求出D的坐标和直线BD的解析式,过DDTx轴于T,可求得∠DBO=45°.设Qmm+2),则Gm-m+4),MQ=m.设∠ABO=α,则∠NBQ=45°-α,∠MQB=180°-α.证明ΔGQN为等腰直角三角形,表示出NQMQNQ,利用二次函数的性质解答即可;

3)如图,过AAHPE于点H,解RtAPH,得到AH=1PH=2.设Hmn),利用两点间距离公式可求出H的坐标,进而求出点E的坐标.

1)在中,令x=0,得y=2,∴A02);

y=0,得,解得:x=4,∴B40).

设二次函数解析式为

A02)代入得:

解得:

2)∵点D1n)在抛物线上,∴n==3

D13).

设直线BD的解析式为y=kx+b,则

解得:

∴直线BD的解析式为:y=-x+4

DDTx轴于T,则OT=1DT=3

OB=4,∴BT=OB-OT=4-1=3

DT=BT

∴∠DBO=45°.

Qmm+2),则Gm-m+4),MQ=m

设∠ABO=α,则∠NBQ=45°-α

MQB=180°-α.

又∵∠PQM=90°,∠NQB=90°-(45°-α)=45°+α,

∴∠GQN=360°-90°-(180°-α)-(45°+α)=45°,

∴ΔGQN为等腰直角三角形,

NQ=

MQNQ=

m=2时,QMQN最大,此时P23).

3)如图,过AAHPE于点H,其中,∠APE=ABO

A02),P23),

PH=2AH

AP=

AH=1PH=2

Hmn),

解得:

①易求直线PH的解析式为

解得:(舍)

②易求直线PH1的解析式为

解得:

综上所述:符合题意的E点坐标为

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请结合图中信息,解决下列问题:

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(3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访,已知4位市民中有2位来自甲区,另2位来自乙区,请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率.

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(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.

①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;

②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.

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1求直线的解析式;

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A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

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