【题目】如图,一次函数的图像与坐标轴交于A、B两点,点C的坐标为,二次函数的图像经过A、B、C三点.
(1)求二次函数的解析式
(2)如图1,已知点在抛物线上,作射线BD,点Q为线段AB上一点,过点Q作轴于点M,作于点N,过Q作轴交抛物线于点P,当QM与QN的积最大时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接AP,若点E为抛物线上一点,且满足,求点E的坐标.
【答案】(1);(2);(3)或
【解析】
(1)求出A、B的坐标,设二次函数解析式为,把A(0,2)代入即可得出结论;
(2)先求出D的坐标和直线BD的解析式,过D作DT⊥x轴于T,可求得∠DBO=45°.设Q(m,m+2),则G(m,-m+4),MQ=m.设∠ABO=α,则∠NBQ=45°-α,∠MQB=180°-α.证明ΔGQN为等腰直角三角形,表示出NQ,MQNQ,利用二次函数的性质解答即可;
(3)如图,过A作AH⊥PE于点H,解Rt△APH,得到AH=1,PH=2.设H(m,n),利用两点间距离公式可求出H的坐标,进而求出点E的坐标.
(1)在中,令x=0,得y=2,∴A(0,2);
令y=0,得,解得:x=4,∴B(4,0).
设二次函数解析式为,
将A(0,2)代入得:
解得:,
∴.
(2)∵点D(1,n)在抛物线上,∴n==3,
∴D(1,3).
设直线BD的解析式为y=kx+b,则,
解得:,
∴直线BD的解析式为:y=-x+4.
过D作DT⊥x轴于T,则OT=1,DT=3.
∵OB=4,∴BT=OB-OT=4-1=3,
∴DT=BT,
∴∠DBO=45°.
设Q(m,m+2),则G(m,-m+4),MQ=m.
设∠ABO=α,则∠NBQ=45°-α
∠MQB=180°-α.
又∵∠PQM=90°,∠NQB=90°-(45°-α)=45°+α,
∴∠GQN=360°-90°-(180°-α)-(45°+α)=45°,
∴ΔGQN为等腰直角三角形,
∴NQ=,
∴MQNQ=.
当m=2时,QMQN最大,此时P(2,3).
(3)如图,过A作AH⊥PE于点H,其中,∠APE=∠ABO.
又A(0,2),P(2,3),
,
∴,
∴PH=2AH.
∵AP=,,
∴,
∴AH=1,PH=2.
设H(m,n),
则,
,
解得:;,
∴,.
①易求直线PH的解析式为:
令
解得:(舍)
∴;
②易求直线PH1的解析式为:.
令,
解得:,
∴.
综上所述:符合题意的E点坐标为或.
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【题目】综合与探究:
已知二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于A,B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)求证:△ABC为直角三角形;
(3)如图,动点E,F同时从点A出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点F停止运动时,点E随之停止运动.设运动时间为t秒,连结EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.当点F在AC上时,是否存在某一时刻t,使得△DCO≌△BCO?(点D不与点B重合)若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,过原点的直线与反比例函数()的图象交于,两点,点在第一象限.点在轴正半轴上,连结交反比例函数图象于点.为的平分线,过点作的垂线,垂足为,连结.若是线段中点,的面积为4,则的值为______.
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求的面积.
(3)根据图象写出反比例函数y≥n的x取值范围.
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【题目】为了解市民对全市创文工作的满意程度,某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计,将调查结果分为不满意,一般,满意,非常满意四类,回收、整理好全部问卷后,得到下列不完整的统计图.
请结合图中信息,解决下列问题:
(1)求此次调查中接受调查的人数.
(2)求此次调查中结果为非常满意的人数.
(3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访,已知4位市民中有2位来自甲区,另2位来自乙区,请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弧ED=弧BD,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C.
(1)若OACD,求阴影部分的面积;
(2)求证:DEDM.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与直线交于点,点的坐标为
(1)求直线的解析式;
(2)直线与轴交于点,若点是直线上一动点(不与点重合),当与相似时,求点的坐标
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【题目】如图,在中,是的直径,点是上一点,点是弧的中点,弦于点,过点的切线交的延长线于点,连接,分别交于点,连接.给出下列结论:①;②;③点是的外心;④.其中正确的是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
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