Question

如图，AB是圆O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD=BD．
（1）若∠ADC=15°，AD=2，则∠CBD=

 

度，CD的长是

 

；
（2）CD=

5

，求AC+BC的长．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）连接AC，如图1，根据圆周角定理得∠ADB=∠ACB=90°，而AD=BD，则∠ABD=∠BAD=45°，由于∠ABC=∠ADC=15°，所以∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°；作DH⊥BC于H，如图1，在Rt△BDH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BN=

1

2

BD=1，DN=

3

BN=

3

，然后利用∠BCD=∠BAD=45°得到△CDH为等腰直角三角形，所以CD=

2

DN=

6

；
（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如图2，先证明Rt△DAM≌Rt△DBN得到BN=AM，DM=DN，再说明四边形CNDM为正方形，则CN=CM，所以AC+BC=CM-AM+CN+BN=2CN，然后利用CD=

2

CN可计算AC+BC的值．

解答：解：（1）连接AC，如图1，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∵∠ABC=∠ADC=15°，
∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°，
作DH⊥BC于H，如图1，
∵BD=AD=2，
在Rt△BDH中，∵∠DBH=60°，
∴BN=

1

2

BD=1，
∴DN=

3

BN=

3

，
∵∠BCD=∠BAD=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴CD=

2

DN=

6

．
故答案为60，

6

；
（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如图2，
∵∠BCD=∠BAD=45°，∠ACD=∠ABD=45°，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DM=DN，
在Rt△DAM和Rt△DBN中，

DM=DN DA=DB

，
∴Rt△DAM≌Rt△DBN，
∴BN=AM，DM=DN，
而∠BCA=90°，
∴四边形CNDM为正方形，
∴CN=CM，
∴AC+BC=CM-AM+CN+BN
=2CN，
而CD=

2

CN，
∴AC+BC=

2

CN=

2

×

5

=

10

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．