Question

【题目】抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中A（-1，0）.

（1）写出B点的坐标 ；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）若抛物线上存在一点P，使得△POC的面积是△BOC的面积的2倍，求点P的坐标；

（4）点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0）；（2）y＝x22x3；（3）P（6，21）或（6，45）；（4）.

【解析】

（1）函数的对称轴为：x＝1，点A（1，0），则点B（3，0）；

（2）用两点式求解即可；

（3）△POC的面积是△BOC的面积的2倍，则|xP|＝2OB＝6，即可求解；

（4）易得直线BC的表达式，设出点M（x，x3），则可得MD＝x3（x22x3）＝x2＋3x，然后求二次函数的最值即可．

解：（1）函数的对称轴为：x＝1，点A（1，0），则点B（3，0），

故答案为（3，0）；

（2）函数的表达式为：y＝（x＋1）（x3）＝x22x3；

（3）△POC的面积是△BOC的面积的2倍，则|xP|＝2OB＝6，

当x＝6时，y＝36123＝21，

当x＝6时，y＝36＋123＝45，

故点P（6，21）或（6，45）；

（4）∵B（3，0），C（0，-3），

易得直线BC的表达式为：y＝x3，

设点M（x，x3），则点D（x，x22x3），

∴MD＝x3（x22x3）＝x2＋3x，

∵1＜0，

∴MD有最大值，

∴当x＝时，其最大值为：．