Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF：CD=1：4，给出下列结论：①△ABE∽△ECF；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论的序号为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：容易证明①△ABE∽△ECF；利用①可得∠AEB+∠FEC=90°，可得③AE⊥EF；且可得

AE

EF

=2，且

AB

BE

=2，可证得②△ABE∽△AEF，而

AD

CE

≠

DF

CF

，所以④不正确．

解答：解：∵E为BC中点，CF：CD=1：4，
∴

AB

CE

=

BE

CF

=2，且∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴①正确；
∴∠BAE=∠FEC，且∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AFB+∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴③正确；
由①可得

AE

EF

=

AB

EC

=2，
∴

AB

AE

=

EC

EF

=

BE

EF

，且∠ABE=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴②正确；
∵

DA

CE

=2，

DF

CF

=3，
∴

AD

CE

≠

DF

CF

，
∴△ADF和△ECF不相似，
∴④不正确，
综上可知正确的为：①②③，
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意正方形性质的运用．